Sind Zahlen mehr als Zahlen?

Ist Mathematik Kunst oder Wissenschaft?

Don Zagier, der frühere Direktor des Max-Planck-Instituts für Mathematik in Bonn, über die Faszination der Zahlen und ungelöste Fragen der Mathematik.





Don Zagier, 68
wurde in Heidelberg als Sohn amerika- nischer Eltern geboren und wuchs in den USA auf. Bis Juni 2019 war der Mathematiker einer der Direktoren des Max-Planck- Instituts für Mathematik in Bonn. Er ist Distinguished Staff Associate am International Centre for Theoretical Physics in Triest.

Herr Professor Zagier, Sie haben mit 13 Jahren in den USA Ihr Abitur gemacht und wurden mit 19 in Oxford in Mathematik promoviert. Erinnern Sie sich, was Sie in diesen sehr jungen Jahren so an Zahlen fasziniert hat?

Oh, ich habe mich auch für andere Schulfächer interessiert, Literatur, Physik, Wirtschaftswissenschaft, eigentlich für alle außer Deutsch. Und jetzt lebe ich in Deutschland – das ist die Strafe.

Als ich etwa elf Jahre alt war, habe ich mich entschieden, mich vor allem auf die Mathematik zu konzentrieren. Ich stellte mir selber Aufgaben und entdeckte Muster in Zahlenreihen. Ich lag abends im Bett und dachte zum Beispiel darüber nach, dass die Summe einer Reihe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen immer eine Quadratzahl ergibt:

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1+3+5+7+9=25

1+3+5+7+9+11=36

Sie können die Reihe endlos fortsetzen, die Summe ist immer eine Quadratzahl. Wenn man sich für Mathematik interessiert, will man wissen, warum das so ist. Das hat mich mit elf Jahren beschäftigt. Was ich heute mache, Zahlentheorie, ist nichts anderes, allerdings auf einem etwas anspruchsvolleren Niveau. So wie es Menschen mit musikalischer Begabung leichtfällt, ein Instrument zu spielen, ist es mir immer relativ leichtgefallen, über Zahlen nachzudenken.

Was ist so interessant an Zahlen?

Jemand, der sich für Mineralogie interessiert und das studiert, sieht in einem Stein spannende Dinge, vielleicht aus Jahrtausenden Erdgeschichte – er kann den Stein lesen. Für mich persönlich dagegen sind Steine völlig uninteressant, ich kann in ihnen nichts erkennen. Und so geht es wohl vielen Nichtmathematikern mit Zahlen. Für mich sind Zahlen so konkret, aufregend und vielschichtig wie Steine für den Mineralogen. Je mehr ich mich mit Zahlen und ihren Eigenschaften beschäftige, desto faszinierender werden sie für mich.

Haben Zahlen einen Charakter?

So spekulieren vielleicht Esoteriker über Zahlen – Mathematiker denken nicht so. Zahlen haben Eigenschaften, von denen manche kompliziert sind. Die Zahlentheorie versucht, diese Eigenschaften zu verstehen.

Ist die Null eine besondere Zahl?

Für mich ist Null die Zahl, die zwischen minus 1 und 1 liegt, genau wie 6 zwischen 5 und 7 liegt. Natürlich hat die Null besondere Eigenschaften, aber auch die Zahl 2 hat besondere Eigenschaften. In der Entwicklung des mathematischen Denkens spielt die Null aber natürlich eine wichtige Rolle. Ohne diese Zahl ist ein etwas höher entwickeltes mathematisches Denken in Zahlen eigentlich nicht möglich. Solange man mit Zahlen nur Objekte zählte, 3 Schafe, 4 Kühe und so weiter, hatte man keine negativen Zahlen und keine Null. Das war sehr primitive Mathematik.

Die Chinesen haben bereits lange vor Christi Geburt mit der Null gerechnet und hatten dafür auch ein Zeichen. Dagegen kannten die Griechen, die eigentlich eine höher entwickelte Mathematik als die Chinesen hatten, keine Null. Erst der griechische Mathematiker Diophant aus Alexandria hat etwa im zweiten Jahrhundert nach Christi in seiner Arithmetik, von der nur ein Teil erhalten ist, ganz konkret definiert: Was sind Zahlen? Was sind negative Zahlen? Wie rechnet man mit negativen Zahlen? Wie rechnet man mit der Zahl Null? Sein Werk ist eine enorme Leistung. Ich bin von Diophant wirklich fasziniert.

Was ist so besonders an einem griechischen Mathematiker aus dem zweiten Jahrhundert nach Christi?

Diophant hat Fragestellungen entwickelt, die der große Mathematiker Pierre de Fermat anderthalb Jahrtausende später aufgreifen konnte. So etwas gibt es wahrscheinlich in keiner anderen wissenschaftlichen Disziplin, außer vielleicht in der Philosophie. In der Arithmetik des Diophant stecken Fragen, die wir noch immer nicht vollständig beantworten können. Er hat ein sehr spannendes Gebiet der Zahlentheorie erfunden, die diophantische Analysis. Das sind Gleichungen, die zum Teil so komplex sind, dass ein Supercomputer Jahrtausende bräuchte, um sie zu lösen.

Können Sie ein Beispiel für so eine komplexe Gleichung aus der Zahlentheorie nennen?

Vor ein paar Jahren ist eine Formel im chinesischen Internet aufgetaucht, die ich sehr hübsch finde. Sie sieht ganz einfach aus:

a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=4

Gesucht sind die kleinsten möglichen Zahlen für a, b und c. Sie haben mehr als 75 Ziffern:

Mathematiker, die nicht auf Zahlentheorie spezialisiert sind, können diese Gleichung nicht lösen. Ein Computer bräuchte für simples Durchprobieren Millionen Jahre.

Wie lange haben Sie gebraucht?

Etwa zwei Stunden. Ich habe die Theorie der elliptischen Kurven genutzt, die wohl alle Zahlentheoretiker kennen. Die meisten werden nach einer halben Stunde sehen, dass sie mit dieser Theorie arbeiten müssen. Wenn man in dieser Formel die 4 durch eine 6 ersetzt, wird es noch schlimmer – a, b und c sind dann Zahlen mit etwa 100 Ziffern. Und wenn man 4 oder 6 dann durch 896 ersetzt, haben die kleinsten Werte von a, b und c mehr als zwei Billionen Ziffern. Die Formel sieht simpel aus, doch sie ist eine erstaunliche Aufgabe mit weitreichenden Dimensionen.

Wozu braucht man solch abstraktes Wissen?

Das ist wie die Frage: Worin liegt der Nutzen einer Sonate von Mozart? Oder der eines Goethe-Gedichts? Nicht bei allem, was Menschen machen, geht es um den unmittelbaren, praktischen Nutzen. Menschen machen auch Dinge, weil sie schön sind oder faszinierend. Die Mathematik ist davon nicht weit entfernt. Wozu betreibt man Forschung? Natürlich auch um praktische Probleme zu lösen, Krankheiten zu heilen, Geld zu verdienen oder weil man auf den Nobelpreis hofft. Aber echte Forscher sind vor allem von Neugier getrieben. Natürlich ist der Satz des Pythagoras praktisch, wenn man Flächen berechnen oder ein Gebäude bauen will. Egal welche Winkel ein Dreieck hat – ihre Summe ist immer 180 Grad. Aber das hat auch eine eigene Schönheit, zumindest für Mathematiker.

Hat eine mathematische Formel für Sie einen ästhetischen Reiz?

Absolut, wie vollendete Musik. Kein Mathematiker kann entscheiden, ob die Mathematik eine Wissenschaft ist oder eine Kunst. Vielleicht ist sie beides. Ein Mathematiker, der für eine mathematische Aussage mehrere Beweise kennt, wird immer den elegantesten, den schönsten Beweis vorziehen. Es gibt einen berühmten Satz von Fermat über das Verhältnis zwischen Primzahlen und der Summe zweier Quadratzahlen: p = a² + b². Für diesen Satz gibt es Hunderte Beweise. Ein Beweis, den ich vor Jahren gefunden habe, ist der bei Weitem kürzeste, was mir natürlich Spaß macht, aber lange nicht der schönste oder eleganteste.

Aber es geht in der Mathematik nicht nur um Schönheit und die Freude an der Abstraktion, oder?

Selbstverständlich ist Mathematik nützlich, die gesamte moderne Technologie beruht darauf. Es gibt aber auch Entdeckungen, die anfangs nur für Mathematiker faszinierend waren, für die keine praktische Anwendung erkennbar war und die dann später in Kontexten wichtig wurden, von denen ihre Entdecker nichts ahnen konnten. Kein Computer würde funktionieren ohne die Erfindung der binären Zahlen oder die Boole’sche Algebra. Doch als Boole die etwa 1850 entwickelte, galt sie als sinnlose Spielerei, fern jedes praktischen Nutzens. Ein anderes Beispiel ist Kryptografie, Verschlüsselung: Die Codes, mit denen Banküberweisungen vor nicht legitimierten Zugriffen geschützt werden, beruhen auf relativ avancierter Zahlentheorie – die nicht zu diesem Zweck entwickelt wurde. 

Haben Sie noch mehr Beispiele?

Dass GPS-Systeme heute so präzise sind, hängt mit dem sogenannten LLL-Algorithmus zusammen, den Freunde von mir vor vielen Jahren entwickelt haben. Ihnen ging es darum, Vektoren in einem hochdimensionalen Gitter, etwa einem Gitter von dreißig Dimensionen zu finden. Nichtmathematiker können sich das vermutlich nicht vorstellen, das ist eine besonders anwendungsfremde Fragestellung der Zahlentheorie. Doch dann wurde der LLL-Algorithmus zur Verbesserung von GPS- Systemen benutzt. Aber die Mathematiker, von denen er stammt, wurden nicht einmal informiert. Sie haben erst viel später durch Zufall davon erfahren.

Zahlen sind, anders als die Untersuchungsgegenstände der Naturwissenschaft, eine Erfindung der Menschen. Wissen wir irgendwann alles, was wir über sie wissen wollen?

Wir kennen noch lange nicht alle Eigenschaften der Zahlen. Ich will zwar nicht sagen, 1800 Jahre nach Diophant stünden wir gerade erst am Anfang, aber jede Lösung von einiger Tiefe führt zu neuen Fragestellungen. Die wichtigsten Fragen sind nicht annähernd gelöst. Riesige Themenfelder, etwa in der Theorie der elliptischen Kurven, sind nicht einmal richtig erschlossen. Und in anderen Gebieten kennen wir die wirklich interessanten Fragen wahrscheinlich noch gar nicht.

Die schwierigste Aufgabe in der Mathematik ist eigentlich, produktive Fragestellungen zu entwickeln. Es geht immer eher darum, Probleme zu finden, als Probleme zu lösen. Viele der Fragen, die mich beschäftigen, habe ich selbst gefunden, jedem guten Forschungsmathematiker geht es genauso. Diese Freiheit hat man wahrscheinlich in keiner anderen Disziplin. Aber dabei kann man nie sicher sein, ob eine selbst gestellte Aufgabe zu tieferen Fragestellungen führt.

Ich würde Ihnen gern einige Fragen ausführen, die mich faszinieren. Aber Sie müssten jahrelang Mathematik studieren, um sie nachvollziehen zu können. Es gibt mathematische Fragestellungen, die vielleicht nur ein Dutzend Menschen wirklich verstehen, weil das ihr Spezialgebiet ist. Es gibt mehr extrem interessante Probleme als darauf spezialisierte Mathematiker. Man kann also sagen, dass die Zahlentheorie sehr komplex geworden ist – auch wenn ihr Gegenstand einfach Zahlen bleiben.

Eine letzte Frage: Glauben Sie, dass auch Nichtmathematiker, zu deren Beruf das Rechnen und die Arbeit mit Zahlen gehört, etwa Steuerberater und Wirtschaftsprüfer, die Schönheit der reinen mathematischen Abstraktion erkennen und genießen?

Ich glaube, dass jeder Mensch, ob jung oder alt und ob mit dem Umgang mit Zahlen vertraut oder nicht, diese Schönheit erkennen und genießen kann, wenn sie ihm richtig präsentiert wird. Er müsste dafür einige der wirklich schönen Beispiele mathematischen Denkens kennenlernen, was allerdings eher der euklidische Beweis der Unendlichkeit der Primzahlfolge wäre als etwa die Frage, wie man die Steuer effizient berechnet. Leider lernt man solche Beispiele all zu selten in der Schule kennen und später erst recht nicht. Ich denke, ein bisschen Liebe zur Mathematik steckt potenziell in jedem. //

Satz des Pythagoras
a² + b² = c²

Boole’sche Algebra
Benannt nach George Boole, der 1847 in seinem Logikkalkül erstmals alge- braische Methoden in der Klassenlogik und Aussagenlogik anwandte. Ihre heutige Form verdankt sie der Weiterentwicklung durch Mathematiker wie John Venn oder Charles Peirce.

Diophantos von Alexandria
Einer der wesentlichen Begründer der Algebra und der Zahlentheorie. Er behandelt sowohl Gleichungen mit einer eindeutigen Lösung als auch mit mehreren Lösungen, wobei Diophant als Lösungen nur positive ganze oder rationale Zahlen zulässt.

brandeins /thema ist das Heft, das Branchen und Trends auf den Grund geht, Märkte und Dienstleistungen transparent macht – und Unternehmern hilft, besser zu wirtschaften.

Zur interaktiven Karte und Bestenliste

Einzelausgabe kaufen
Abonnement kaufen