Ausgabe 11/2016 - Schwerpunkt Intuition

Günter Ziegler im Interview

π mal Daumen

brand eins: Herr Ziegler, wie lautet die mathematische Formel für Intuition?

Günter Ziegler: Ich glaube nicht, dass die jemals gefunden wird. Mathematische Formeln erlauben genaue Berechnungen. Intuition beschreibt einen Vorgang, der sich nicht berechnen lässt. Das wäre ein Widerspruch in sich.

In einem Ihrer Bücher haben Sie geschrieben, Sie seien stolz auf Ihre Intuition. Ist das für einen Mathematiker dann nicht auch ein Widerspruch in sich?

Ich bin Mathematiker, aber ich lasse mich nicht auf mathematische Formeln reduzieren. Beim Lösen von mathematischen Problemen sind wir Mathematiker vielleicht sogar besonders stark auf unsere Intuition angewiesen. Wir müssen relativ früh spüren, ob eine bestimmte Arbeitshypothese oder ein bestimmter Lösungsweg der richtige sein könnte. Wenn dieses Gespür fehlt, verrennen wir uns auf den falschen Wegen, arbeiten an den falschen Ideen, möglicherweise über Monate oder sogar Jahre. An deren Ende steht dann kein Beweis oder keine Lösung auf dem Papier, sondern unendliche Frustration.

Können Sie das konkretisieren?

Viele meiner Arbeiten fußen darauf, dass ich Beispiele oder Gegenbeispiele für Vermutungen von anderen Mathematikern konstruiere. Dabei spielt Erfahrung eine große Rolle. Ich mache seit Jahrzehnten Geometrie und Polyedertheorie. Polyeder sind geometrische Objekte mit geraden Seitenflächen, wie etwa Würfel oder Pyramiden, um die einfachsten Beispiele zu nennen. Ich kenne eine ganze Menge von diesen Tierchen, auch viel interessantere und kompliziertere als Würfel oder Pyramiden. Die sprechen zu mir. Das meine ich fast wörtlich. Wenn du dich als Geometer lange genug mit einer Fragestellung beschäftigt hast, dann sagen dir die Formen, wo es langgeht. Oder etwas weniger esoterisch formuliert: Ich habe eine große Vertrautheit mit dem Material entwickelt. Aus dieser Vertrautheit erwächst das Gefühl, ob eine bestimmte geometrische Form zu einer Fragestellung passt, was wiederum Hinweise darauf gibt, dass die Vermutung mit hoher Wahrscheinlichkeit stimmt. Oder auch im Gegenteil: Ich spüre, wenn da etwas nicht passt, nicht stimmt und dass ich in eine andere Richtung denken und arbeiten muss als derjenige, der die Vermutung aufgestellt hat.

Mathematische Vermutungen sind Thesen, an denen sich andere dann abarbeiten. Braucht man zum Aufstellen dieser Vermutungen ein besonderes Gespür?

Das kommt darauf an. Manche der Vermutungen und zu lösenden Probleme ergeben sich aus relativ simplen Zahlenspielereien, so wie zum Beispiel bei der berühmten Fermatschen Vermutung des Mathematikers Pierre de Fermat. Das heißt allerdings nicht, dass diese Probleme dann leicht zu lösen wären. Bei anderen Aufgabenstellungen ist es in der Tat so, dass bereits das Formulieren der Frage beziehungsweise der These ein sehr gutes Gespür voraussetzt, was überhaupt richtig sein könnte.

Ist mathematische Intuition angeboren? Ein Teilaspekt des mathematischen Talents?

Sicher ist Intuition ein wichtiger Teil von Talent, aber das muss deshalb nicht angeboren sein. Meine Vermutung ist, dass mathematische Intuition viel mit Erfahrung zu tun hat und sich darin auch nicht von Intuition auf anderen Feldern unterscheidet, wie zum Beispiel in der Politik. Ein routinierter Politiker spürt, was er sagen muss, damit die Leute auf die Barrikaden gehen oder damit sie, wenn es ihm nützt, ruhig bleiben. Er spürt es, weil er ähnliche Situationen schon x-mal erlebt hat. Bei einem Mathematiker hilft die Erfahrung, sich extrem abstrakte Probleme konkret vorstellen zu können, was wiederum die Lösung erheblich vereinfacht, zumindest bei Mathematikern, die stark mit Beispielen arbeiten. Insofern ist mathematische Intuition vor allem hart erarbeitet. Auch wenn wir die Notizbücher der Granden unserer Disziplin durchgehen, von Gauss, Euler oder Riemann, dann sehen wir: Auch deren Geistesblitze kamen nicht einfach so aus dem Nichts. Die waren fleißig und haben sehr viel gerechnet, bevor sie ihre Vermutungen aufstellten.

Wenn gute Intuition das Ergebnis von jahrelanger Arbeit ist, müssten doch ältere Mathematiker mit ihrer Erfahrung im Vorteil sein. Die großen Preise gewinnen aber meist die jungen, oft sogar unter 30-jährigen Mathematiker.

Das Klischee lautet: Mathematiker über 30 sind ausgebrannt. Dafür gibt es sehr viele Gegenbeispiele, insofern kann das so allgemein nicht stimmen. Richtig ist: Die großen Preise gibt es für Lösungen und Beweise der großen Probleme und Vermutungen. Um die zu knacken, braucht es eine enorme Hartnäckigkeit und Konzentration und eine starke Fokussierung. Die aufzubringen fällt jungen Mathematikern oft leichter, wenn sie noch keine Familie, keine Professur und keine Kommissionssitzungen haben.

Umgekehrt sehen ältere Mathematiker oft große Bögen oder überraschende Zusammenhänge, die vor ihnen noch keiner gesehen hat. Das ist für die Forschung sehr wichtig, dafür gibt es aber in der Regel keine Preise. Insofern verzerrt das Auszählen von Mathematikpreisen und der Abgleich mit dem Alter das Bild.

Hinzu kommt: Den bedeutendsten Mathematikpreis, die Fields-Medaille, können qua Regularien nur Mathematiker unter 40 bekommen. Seit 2003 gibt allerdings den Abelpreis für das Lebenswerk. Da werden sich dann langfristig wohl diejenigen durchsetzen, die über ihre gesamte Karriere hinweg eine hohe Forschungsleistung erbracht haben.

Mathematik ist die präziseste aller Wissenschaften. Das Wesen der Intuition ist die Heuristik, also die Mutmaßung auf Basis weniger Informationen. Heuristik ist nicht präzise. Wie geht das zusammen?

Mathematik ist in den Ergebnissen präzise. Und überall dort, wo wir die großen Probleme gelöst und die Beweise dafür geführt haben. Der für mich spannendere Teil der Mathematik ist der, den wir noch nicht überblicken und entsprechend auch noch nicht präzise beschreiben können. Dort müssen wir mit Heuristiken arbeiten, sonst kommen wir nicht weiter. Spannend finde ich in diesem Zusammenhang, dass wir – wie ja auch im Alltag – intuitiv komplexe mathematische Probleme näherungsweise lösen können.

Wir alle? Oder „wir Mathematiker“?

Wir alle. Wenn Sie zum Beispiel einen Sportwagen sehen, spüren Sie, ob dieser besonders oder nur ziemlich windschnittig ist. Diese Unterscheidung wissenschaftlich präzise machen zu können braucht weit fortgeschrittene mathematische Fähigkeiten. Die Berechnung von Windwiderstandswerten ist extrem komplex, insofern ist unser intuitives Gefühl für Windschnittigkeit bemerkenswert. Gleiches gilt für Verkehrsströme. Auch die kann man in komplexen Gleichungen beschreiben und berechnen, und dennoch haben wir oft ein gutes Gespür dafür, wo bald ein Stau entstehen könnte und dass es jetzt besser wäre, eine andere Route zu nehmen.

Sie schreiben in einem Ihrer Bücher auch: „Beweise werden aus Ideen und Intuition gemacht. Über ihre Intuition sprechen Mathematiker selten.“ Woran liegt das?

Wir Mathematiker arbeiten über Jahre mit viel Intuition an einem Problem, und wenn wir die Lösung gefunden haben, schreiben wir sie so formal auf, wie es nur irgend geht. Aus dem publizierten Beweis lässt sich dann gar nicht mehr erkennen, welche Rolle die Intuition beim Finden der Lösung gespielt hat. Das finde ich sehr schade, denn ich bin überzeugt: Wir Mathematiker könnten voneinander viel lernen, wenn wir genauer wüssten, wie ein Kollege auf eine bestimmte Lösung gekommen ist. Das ließe sich freilich nicht mit Zahlen oder Formeln beschreiben, sondern in erläuternder Prosa. Wir müssten also erzählen, wie aus einer Intuition eine konkrete Idee und schließlich ein formaler Beweis wurde – inklusive der Irrwege, die wir auf der Strecke gegangen sind. Vielleicht sind Prosa-Texte nicht gerade die Stärke vieler Mathematiker.

Können Computer mathematische Beweise herleiten?

Ich habe bisher noch keinen Computer gesehen, der einen interessanten Beweis erbracht hätte. Auch gibt es meines Wissens keine einzige interessante Vermutung, die ein Computerprogramm aufgestellt hat. Stand der Technik ist, dass Computer uns Menschen helfen können, Lösungen zu konkretisieren und schließlich die Lösung oder den Beweis so zu formalisieren, dass Computer die Beweisführung verifizieren können. Die Software bleibt ein Werkzeug. Bei der gedanklich kreativen Leistung in der Mathematik helfen Computer uns heute nicht wirklich weiter. Spannende Beweise brauchen eine originelle Idee, die wirklich spannenden brauchen mehrere Ideen, die originell verknüpft werden. Natürlich werden die Programme durch maschinelles Lernen auch dabei besser, aber bislang hat der Mensch noch einen sehr großen Vorsprung.

Im Sommer war im Kino „Die Poesie des Unendlichen“ zu sehen, ein Film über ein indisches Mathematikgenie, das aus ärmsten Verhältnissen kam und kaum formale Bildung hatte. Der Film porträtiert Srinivasa Ramanujan, der von britischen Mathematikern entdeckt und nach Cambridge geholt wurde, als den wohl intuitivsten Mathematiker aller Zeiten. Ist da was dran?

Mit solchen Superlativen muss man natürlich immer vorsichtig sein, und solche Biopic-Filme spitzen auch immer zu. Aber wirklich spannend am realen Ramanujan war, dass er technisch so schlecht war und dennoch unglaubliche Formeln aufstellte, von denen sich im Nachhinein viele als richtig erwiesen haben. Er hatte wohl einen besonderen, eher visuellen Zugang zu den Formeln, und daran sieht man tatsächlich, wie groß die Rolle von Intuition in der Mathematik sein kann. Unter dem Strich könnte man sagen: Es gibt keine Formel für Intuition, nach der Sie anfangs fragten. Aber es gibt Menschen mit sehr viel Intuition für Formeln.

Wie weit wäre Ramanujan erst gekommen, wenn er zusätzlich auch noch eine gute mathematische Schul- und Universitätsbildung gehabt hätte?

Das ist natürlich reine Spekulation. Aber denkbar ist auch, dass er es viel weniger weit gebracht hätte. Vielleicht hätte diese formale Bildung seine große Stärke, die Intuition, unter sich begraben. Wenn man alles gelesen und verstanden hat, besteht die Gefahr, dass die Fantasie erstickt. Bei Ramanujan gab es die geniale Situation, dass er dann in Cambridge bei zwei technisch hervorragenden Mathematikern saß, Hardy und Littlewood, die über die Zahlentheorie kamen und schnell erkannten, dass in diesen wahnsinnigen Formeln Ramanujans tatsächlich etwas Habhaftes drinsteckte. Das Magische an der Zusammenarbeit der drei bestand dann eben darin, dass die Talente so unterschiedlich waren. Diese unglaubliche Intuition auf der einen Seite und die technische Meisterschaft auf der anderen. Die Verbindung bringt den Erfolg. ---

Günter M. Ziegler, 53, ist Professor für Mathematik an der Freien Universität Berlin, Vorstandsmitglied der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften und Vorstand der Berlin Mathematical School. Schon als Schüler gewann er eine Goldmedaille bei der Internationalen Mathematik-Olympiade. Ziegler erhielt zahlreiche Forschungspreise, darunter einen Gottfried Wilhelm Leibniz-Preis.

Mehr aus diesem Heft

Intuition 

Zündstoff

Intuition und Vernunft sind keine Gegensätze. Sie ergänzen einander ideal.

Lesen

Intuition 

Wechselwahlforscher

Wähler entscheiden heute stärker aus dem Bauch heraus. Der Demoskop Matthias Jung erklärt, woran das liegt.

Lesen

Idea
Read