Ausgabe 11/2011 - Schwerpunkt Rechnen

Claus Peter Ortlieb im Interview

„Die Welt lässt sich nicht berechnen“

brand eins: Herr Ortlieb, woran liegt es, dass die meisten Menschen Schwierigkeiten mit Mathematik oder gar Angst vor ihr haben?

Claus Peter Ortlieb: Ich habe mich oft gefragt, warum das so ist. Eine einfache, allgemeingültige Antwort gibt es natürlich nicht und schon gar nicht von mir, weil ich als Mathematiker diese Probleme nie hatte. Aber es stimmt, die Schwierigkeiten anderer mit der Mathematik lassen sich feststellen. Und auch, wenn ich keine direkte Antwort kenne, kann ich zumindest sagen: Der Widerwillen gegen die Mathematik zeigt, dass der mathematische Blick auf die Welt nicht allgemein menschlich ist.

Das müssen Sie erklären.

Die moderne Mathematik ist sicher nicht aus einem gewachsenen, überhistorisch begründbaren menschlichen Bedürfnis heraus entstanden. Die Menschen kamen sehr gut ohne die moderne Mathematik zurecht. Letztlich ist sie eine Erfindung der Neuzeit. Die meisten Menschen erfassen die Welt seit jeher sinnlich und unmittelbar, empathisch und emotional. Die Erklärung für die Ursache einer Wirkung von Vorgängen wird zumeist aus eigenen, selbst erlebten Erfahrungen hergeleitet, die für plausibel und nachvollziehbar gehalten werden. Der mathematische Blick auf die Welt hingegen beruht nicht auf unmittelbarer Erfahrung, er nimmt die Vorgänge abstrahierend auf und versucht, sie mathematischen Gesetzmäßigkeiten unterzuordnen. Das widerstrebt den meisten Menschen, sie haben schlicht einen anderen, unmittelbar empirischen Zugang zu den Dingen, die sie umgeben. Was historisch gesehen wohl auch eher dem menschlichen Naturell entspricht.

Die menschliche Natur als Grund, schlecht in Mathematik zu sein. Sie liefern den Schülern ein hübsches, neues Argument.

Ich spreche vom mathematischen Blick auf die Welt und nicht von Mathematik schlechthin, die es ja schon etwa so lange geben dürfte wie die menschliche Sprache. Das sind nicht dieselben Dinge. Außerdem spielen natürlich auch kulturelle Gründe eine Rolle. So ist es etwa ein sehr deutsches Phänomen, damit zu kokettieren, man sei schlecht in Mathe gewesen, das ist hierzulande ja sehr en vogue. In Frankreich etwa ist das ganz anders.

Woran liegt das?

Das könnte sich dort niemand leisten. Dort gehört Mathematik stärker zur nationalen Kultur und hat ein höheres Ansehen als hierzulande. Die Deutschen definieren sich seit jeher stärker über die Geisteswissenschaften.

Inwiefern hat die Mathematik unsere Sicht der Welt verändert?

Sie hat eine ungeheure Bedeutung. Heute macht man sich das nicht mehr klar, weil wir die moderne Beschreibung der Welt verinnerlicht haben und für selbstverständlich halten. Doch der mathematische Blick ist letztlich erst im 17. Jahrhundert entstanden, als Galilei die These aufstellte, die gesamte Welt funktioniere nach mathematischen Gesetzen und lasse sich mit der Sprache der Mathematik beschreiben, erklären und berechnen. In dieser Zeit ist von den Mathematikern sehr vieles zum ersten Mal gemacht und gedacht worden, was wir bis heute in Mathematik und Naturwissenschaften machen und denken. In der Vormoderne kam die Gesellschaft ohne Gott und die Erklärungsmuster der Religion nicht aus. An deren Stelle trat die mathematisch-naturwissenschaftliche Betrachtung der Welt, die Gott zur Privatsache machte. Inzwischen ist die mathematisch-naturwissenschaftliche Deutung der Dinge konkurrenzlos. Was nicht berechtigt ist.

Warum?

Weil es natürlich ein Irrtum ist, zu glauben, man könne die gesamte Welt auf diese Weise erfassen.

Das sagen Sie als Mathematiker?

Das sage ich als Mathematiker.

Wie kommen Sie dazu?

Die Behauptung, die neuzeitlichen Wissenschaften würden, im Gegensatz zum finsteren Mittelalter etwa, den Tatsachen ins Auge sehen, ist Unsinn. In Wahrheit beruhen sie auf Annahmen, die oft völlig fiktiv sind und gerade nicht auf Erfahrungen beruhen.

Haben Sie ein Beispiel?

Das erste Gesetz von Newton zum Trägheitsprinzip etwa besagt, dass ein Körper, der sich in einem kräftefreien Raum bewegt, seine Geschwindigkeit aufrechterhält und diese nicht ändert. Die Annahme eines kräftefreien Raumes ist eine reine Fiktion. Ein solcher Raum existiert nicht. Insofern beschreibt Newton etwas, das es so nicht geben kann. Das Interessante ist, dass es eines der Gesetze ist, auf der die newtonsche Mechanik beruht.

Was sagt das über die Mechanik?

Dass sie rein mathematisch ist. Der Wissenschaftshistoriker Alexandre Koyré hat das so ausgedrückt: Die galileische Wissenschaft versucht das Reale durch das Unmögliche zu erklären. Das Axiom Newtons beschreibt eine fiktive, real nicht herstellbare, gleichwohl mathematische Situation. Einen mathematischen Idealzustand, den es in Wirklichkeit nicht gibt. Auf diesem aufbauend, wird Mathematik entwickelt, die die Realität beschreibt. Und wenn ich Glück habe, kann man diese in Experimenten nachweisen, aber das ursprüngliche Axiom nicht. Nur die Folgerungen, die man daraus zieht. Dieses Beispiel erklärt den mathematischen Blick auf die Welt gut. Man beschreibt eine ideale, mathematische Situation und sagt, wie sich die Welt in dieser Situation verhalten würde, obwohl es diese nicht geben kann.

Eine Anmaßung.

Ja, zumindest dann, wenn man so tut, als folge die ganze Welt den Ableitungen eines rein mathematischen Modells und als ließe sich die Welt unter die eigenen Regeln zwingen. Man muss sich bewusst machen, dass die Erfassung der Welt durch Mathematik Grenzen hat. Die Annahme, sie funktioniere allein nach mathematischen Gesetzen, führt dazu, dass man nur noch nach diesen Gesetzen Ausschau hält. Natürlich werde ich sie in den Naturwissenschaften auch finden, doch ich muss mir im Klaren darüber sein, dass ich die Welt durch eine Brille hindurch betrachte, die von vornherein große Teile ausblendet. Ich darf dabei nicht vergessen, dass nicht die Welt so ist, sondern vielmehr, dass allein ich so vorgehe. Diese Methode hat eine lange Tradition, die bis in die Aufklärung zurückgeht. Immanuel Kant etwa hat diese Vorgehensweise der Naturwissenschaften sehr korrekt beschrieben und behauptet, das sei die einzige Art und Weise, wie man überhaupt zu Erkenntnis gelange.

Teilen Sie seine Ansicht?

Das ist Quatsch. Kant blendet aus, dass die Menschen vor seiner Zeit auf andere Weise auch zu Erkenntnissen gelangt sind, und natürlich auch, dass es Bereiche gibt, die man mit dieser Methode nicht erkennen kann. Die alten Griechen etwa haben die Mathematik verwendet, aber nicht so, wie es die modernen Naturwissenschaften tun. Sie haben Mathematik als eine Art Philosophie der reinen Form betrieben, und gleichzeitig war ihnen bewusst, dass die Welt komplexer ist als diese reine Form. In der neuzeitlichen Wissenschaftsgeschichtsschreibung gibt es die Tendenz, die neuen Disziplinen gegenüber denen der Zeiten vorher zu glorifizieren und den Weg der Erlangung von Erkenntnissen mit netten Geschichten auszuschmücken. Galilei etwa ist nicht vor versammelter Mannschaft auf den Schiefen Turm von Pisa gestiegen, um von oben zwei Kugeln fallen zu lassen. Das weiß man mit Sicherheit seit den dreißiger Jahren des 20. Jahrhunderts. Galilei hat sehr viel geschrieben und war in seinen Schriften ein begnadeter Selbstdarsteller. Er hat die Szene mit dem Turm selbst nie erwähnt, hätte sie stattgefunden, hätte er es mit Sicherheit aufgeschrieben. Vielmehr hat er seine Versuche an einer schiefen Ebene als Ersatz für den freien Fall beschrieben, an denen er die Kugeln runterrollen ließ. Aber selbst das ist umstritten.

Die Welt bleibt also unberechenbar?

Selbstverständlich bleibt sie das. Das bedeutet nicht, dass der mathematische Blick auf die Welt per se Blödsinn ist, ganz im Gegenteil: Er ist eine echte Erfolgsgeschichte, und wir verdanken ihm viele Erkenntnisse, unsere gesamte wissenschaftliche und technische Entwicklung und die Art, wie wir heute leben. Doch die Erfolgsgeschichte ist gleichzeitig das Problem. Denn aus ihr entsteht nicht nur die Illusion zu glauben, man könne alles auf diese Weise erfassen und entschlüsseln, sondern man gerät durch diese Illusion auch noch in den Zwang, die Welt in diese Form zu pressen. Und das ist gefährlich.

Warum gefährlich?

Weil es dazu führt, dass Entscheidungen getroffen werden, die in das Leben von Menschen eingreifen. Die mathematische Methode ist längst von Wissenschaftlern fast aller Disziplinen übernommen worden und wird in allen möglichen Bereichen angewandt, wo sie eigentlich nichts zu suchen hat. Teile der Gesellschaftswissenschaften etwa begreifen sich als eine Art Sozialphysik und glauben, dass das Zusammenleben der Menschen in einer Gesellschaft nach bestimmten mathematischen Gesetzen funktioniert, die es zu erkennen gilt. Dummerweise sind gerade dort die Voraussetzungen der mathematischen Methode erkennbar nicht erfüllt. Man kann in den Gesellschaftswissenschaften nämlich keine Experimente machen, durch die Mathematik und Wirklichkeit ja erst miteinander verbunden werden. In manchen Sozialwissenschaften mag das nicht so gravierend sein, sofern dort das Verhalten von Menschen nur im statistischen Mittel beschrieben und eingeräumt wird, dass der Einzelne davon abweichen kann. Die eigene methodische Begrenztheit wird also erkannt und eingestanden. Die herrschende Volkswirtschaftslehre etwa macht das nicht. Sie missbraucht die Mathematik.

Was meinen Sie damit?

Anders als in anderen Sozialwissenschaften wird die begrenzte Aussagekraft nicht konzediert, sie wird nicht einmal mehr erkannt. Die herrschende Volkswirtschaftslehre ist eigentlich eine bloß noch mathematische Disziplin, sie erstellt mathematische Modelle, die man real nie nachbauen könnte und die trotzdem verwendet werden, um auf deren Grundlage Berechnungen anzustellen und komplexe ökonomische Vorgänge auf wenige Zahlen zu reduzieren. Auch dort wird versucht, das Reale mit dem Unmöglichen zu beschreiben. Im Prinzip ist das derselbe Vorgang, nur kann man die Ableitungen aus Annahmen des mathematischen Modells, das ja nichts anderes ist als ein fiktiver Idealzustand, nicht im Experiment mit der Wirklichkeit verbinden, so, wie es die Naturwissenschaften können. Schon aus diesem Grund ist es legitim zu bezweifeln, dass man in der Volkswirtschaft überhaupt Mathematik einsetzen darf. Dazu kommt, dass ökonomische Prozesse letztlich von Menschen gemacht werden und nie naturgesetzlich ablaufen. Menschen haben immer Entscheidungsfreiheit. In den Naturwissenschaften ist es möglich, von Gesetzmäßigkeiten auszugehen und Prozesse eindeutig determinierbar zu beschreiben, wenn ich ihre Bedingungen kenne. Sobald der Mensch ins Spiel kommt, ist das anders, erst recht, wenn sein Verhalten im komplexen gesellschaftlichen Raum betrachtet wird. Geschichte wird gemacht. Sie ist kein Naturprozess, der einfach so abläuft. Die neoklassische Lehre blendet das aus und kommt zu absurden Ergebnissen.

Zum Beispiel?

Das geschieht etwa dadurch, dass die per se anzweifelbare mathematische Methode innerhalb der Volkswirtschaftslehre auch noch falsch angewandt wird. Die neoklassische Lehre vom Markt etwa wird fälschlicherweise vom Gütermarkt auf andere Märkte übertragen. Der Gütermarkt wird über Angebot und Nachfrage beschrieben. Angebot ist eine monoton wachsende Funktion des Preises und Nachfrage eine monoton fallende Funktion des Preises. Diese beiden Linien kreuzen sich irgendwo, und da entsteht das Gleichgewicht, auf das sich der Markt einstellt. Der Anschaulichkeit halber wird das mit dem berühmten Bild eines Marktplatzes beschrieben, auf dem sich Anbieter und Nachfrager treffen und die Preise aushandeln. So fangen alle VWL-Lehrbücher an, die sich kreuzenden Linien der Funktionen aus Angebot und Nachfrage bilden das sogenannte Marshall-Kreuz, das jeder VWL-Student kennt. Und dann der Fehler: Dieses Modell wird auf Teufel komm raus auf alle möglichen Situationen angewandt, etwa den Arbeitsmarkt.

Warum ist das nicht legitim?

Weil auf ihn die Grundannahmen des Gütermarkt-Modells schlicht nicht zutreffen. Im Niedriglohnbereich ist die Annahme einer monoton wachsenden Angebotsfunktion nicht korrekt. Wenn ich die Löhne senke, muss jemand, der davon leben will, mehr arbeiten, um auf dieselbe Summe zu kommen. Die Modellannahme geht aber davon aus, dieser Jemand würde dann weniger arbeiten, weil der Einsatz seiner Arbeitskraft für ihn nicht attraktiv ist. Das geht an der Wirklichkeit vollkommen vorbei, wird aber einfach so behauptet und als Argument gegen Tarif-oder Mindestlöhne herangezogen. Wenn diese zu hoch angesetzt würden, könne sich das Gleichgewicht nicht einstellen, und es entstehe Arbeitslosigkeit. Das ist die herrschende Auffassung der neoklassischen Volkswirtschaftslehre. Man kann Bücher von Har-vard-Professoren lesen, die, bezogen auf den Arbeitsmarkt, so argumentieren, obwohl sie hundert Seiten vorher in einem anderen Modell nachgewiesen haben, dass die Annahmen keineswegs erfüllt sind.

Wollen diese Autoren das nicht wahrhaben?

Man kann sich jedenfalls schwer vorstellen, dass jemand das aus Versehen macht, schon gar nicht, wenn es sich um ein Buch handelt, das inzwischen in der dritten Auflage erschienen ist. Die neoklassische Lehre der Volkswirtschaft geht von einer Art Harmonielehre der Märkte aus. Wenn man die Märkte sich selbst überlasse, stelle sich alles zum Besten ein. Zum Beleg dieser Meinung werden Scheinargumente benutzt, die sich der Mathematik bedienen und sie missbrauchen, um Ideologie zu transportieren. Die Mathematik eignet sich hierfür sehr gut, weil sie die Erfolgsgeschichte der exakten Naturwissenschaften auf ihrer Seite hat und in Bezug auf Exaktheit das Maß aller Dinge ist. Was mathematisch exakt berechnet wurde, kann doch nicht falsch sein. Deswegen vertrauen viele Menschen auch den Informationen, die in Gestalt von Zahlen daherkommen. Zahlen scheinen vordergründig leicht nachvollziehbar, gerade auch in wirtschaftlichen Zusammenhängen.

Wie groß ist die Macht der Zahlen?

Sie sind extrem mächtig, moderne Menschen sind zahlengläubig und über Zahlen sehr leicht manipulierbar. Zahlen verkörpern schlichte Objektivität, sie verselbstständigen sich leicht und werden dadurch schnell zum Fetisch. Es ist zum Beispiel im Grunde irrsinnig, die Wirtschaftsleistung Deutschlands auf eine einzige Zahl zu bringen, das Bruttoinlandsprodukt, das dann jedes Jahr wachsen muss, damit die Welt in Ordnung ist. Die Zahl als solche ist vergleichsweise nichtssagend im Vergleich dazu, was hinter dieser Zahl an menschlichem Handeln steht.

Was wäre die Alternative?

Es gibt keine, jedenfalls sehe ich in unserer modernen, komplexen Welt keine. Man muss Informationen handhabbar machen, um handlungsfähig zu sein. Es ist jedoch wichtig, die Zahlen nicht zum Fetisch zu machen. Vor allem dann, wenn ihre Herleitung zweifelhaft ist und zu Ergebnissen führt, die Zwänge zur Folge haben.

Woran denken Sie?

Im alltäglichen Leben denke ich etwa an die Vergabe von Noten, die über Lebensläufe entscheiden. Ich bin selbst Hochschullehrer und muss die Arbeiten von Studenten auf eine Zahl bringen. Letztlich ist das nicht möglich. Eine komplexe geistige Leistung ist nur komplex beschreibbar und komplex zu bewerten. Ich schreibe zwar auch für jede Diplomarbeit ein mehrseitiges Gutachten, aber am Schluss muss ich eine Zahl daruntersetzen. Doch Noten sind nie objektiv, letztlich pendelt sich ein Bewertungsschema ein. Am mathematischen Fachbereich etwa haben wir bei Diplomarbeiten einen ziemlich hohen Notendurchschnitt, der ungefähr bei der Note "Zwei" liegt. Bei den Juristen wiederum ist im Examen die Note "Drei" ein gutes Ergebnis. Das zeigt schon, wie wenig objektiv und vergleichbar Zahlen sind.

Und außerhalb des Alltagslebens?

Bedenklich sind Zahlen immer dann, wenn sie zu Normierungen führen, obwohl niemand mehr nachvollziehen kann, wie die Zahlen zustande gekommen sind. Die Herleitung der Zahlen wird immer irgendwann abgeschnitten, weil sie nicht vermittelbar ist, das versteht kein Mensch. Die Zahlen verselbstständigen sich und stehen dann allein da, ohne noch hinterfragt zu werden. Denken Sie an das Zwei-Grad-Ziel, das im Zusammenhang mit der Kli-ma-Erwärmung immer genannt wird. Die Behauptung, zwei Grad Erwärmung können wir uns gerade noch erlauben, alles darüber führt zur Katastrophe. Das ist eine gegriffene Zahl. Warum zwei Grad? Warum nicht ein Grad? Warum nicht drei? Das weiß keiner so genau. Es wird so getan, als seien das objektive Erkenntnisse, die in Computermodellen errechnet wurden. Aber es ist falsch und unwissenschaftlich zu sagen, es gebe eine absolute Zahlengrenze, unterhalb derer alles in Ordnung ist, während die Katastrophe ausbricht, wenn sie überschritten wird. Natürlich ist ein Grad besser als zwei Grad und zwei Grad besser als drei Grad. Auch bei anderen gesetzlichen Grenzwerten ist das so. Wie viele Schadstoffe dürfen in einem Lebensmittel enthalten sein? Wie hoch darf die Konzentration an Feinstaub in der Luft sein? Diese Zahlen sind einfach gesetzt, und die Fachleute wissen das. Aber in der Öffentlichkeit wird das praktisch nicht kommuniziert.

Zweifeln Sie die Klima-Erwärmung an?

Nein, keinesfalls. Die Leute, die den Klimawandel prognostizieren, machen das nach bestem Wissen. Sie arbeiten mit qualitativ hochwertigen Methoden und mit einigermaßen gehärteten, naturwissenschaftlichen Daten. Diejenigen, die ihn anzweifeln, haben ja im Vergleich null Begründung. Dennoch sind die Zahlen, die genannt werden, nichts anderes als die verkürzte Darstellung einer wissenschaftlichen Hypothese. Und jeder Hypothese sollte man mit Skepsis begegnen, darin besteht Wissenschaft. Letztlich haben wir in den Klimawissenschaften dieselbe Situation wie bei der Volkswirtschaftslehre oder den Gesellschaftswissenschaften: Man kann keine Experimente machen. Die Zahlen beruhen nicht auf Erfahrung, sie sind eine reine Prognose und das Ergebnis von mathematischen Modellen. In Wahrheit weiß niemand so genau, welche Temperatur wir im Jahr 2100 haben werden.

Also stößt die Mathematik und ihre Modelle bei Fragen, die eine gewisse Komplexität übersteigen, immer an eine Grenze?

Das tut sie. Jedes hinreichend mächtige, formale System ist widersprüchlich oder unvollständig, auch die Mathematik. Diese Einsicht verdanken wir dem Mathematiker Kurt Gödel, der in den dreißiger Jahren gezeigt hat, dass die bis dahin herrschende Vorstellung falsch ist, in der Mathematik könne man alles formalisieren, in dem Sinne, dass man nur einen Algorithmus anwenden muss, um alle wahren Sätze herauszukriegen. In jeder hinreichend komplexen formalen Theorie gibt es Sätze, die man innerhalb der Theorie weder beweisen noch widerlegen kann. Das ist ein wichtiger Punkt: Wenn es schon innerhalb der Mathematik Dinge gibt, die sich nicht klären lassen, dann gilt das natürlich erst recht, wenn Mathematik auf informelle Systeme wie Klima, Wirtschaft oder Gesellschaften angewandt wird. Es gibt viele mathematische Probleme, Vermutungen und Fragestellungen, von denen man nicht sagen kann, ob sie wahr, falsch oder jemals beweisbar sind.

Zum Beispiel?

Die Goldbachsche Vermutung etwa sagt, dass jede gerade Zahl, die größer als zwei ist, sich als die Summe zweier Primzahlen darstellen lasse. Acht ist drei plus fünf, zehn ist sieben plus drei und so weiter. Es hat noch nie ein Mensch eine gerade Zahl entdeckt, bei der das nicht so ist. Andererseits hat noch nie einer beweisen können, dass es wirklich immer so ist.

Und das lässt sich nicht beweisen?

Bislang hat es noch niemand geschafft. Das klingt jetzt nach keiner großen Sache, aber um 1900 ist die Mathematik wegen solcher unlösbarer Fragen in eine echte Grundlagenkrise gekommen. Am bekanntesten ist in diesem Zusammenhang wohl Bertrand Russell, der im Jahr 1903 mit den nach ihm benannten Antinomien aufkreuzte, und auf einmal gab es in der Mathematik Paradoxa, die häufig popularisiert wurden und recht unterhaltsam sind. Die Mathematik fand das weniger unterhaltsam, die Basis schwankte gewaltig. Kennen Sie das Barbier-Paradoxon?

Nie gehört.

Es geht so: "Ein Barbier lässt sich definieren als jemand, der die Leute rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Und die Frage ist: Rasiert ein Barbier sich selbst?" Denken Sie mal darüber nach.

Bei Gelegenheit gern. Sie sagten, die Basis schwankte. Wie ging die Mathematik mit ihrer Grundlagenkrise um?

Sehr menschlich. Sie beschloss irgendwann, sich nicht weiter darum zu kümmern. ---

Claus Peter Ortlieb,

64, ist Professor für angewandte Mathematik an der Universität Hamburg. Der Schwerpunkt seiner Arbeit ist die mathematische Modellbildung. Er ist Mitautor des 2009 erschienenen Fachbuchs "Mathematische Modellierung - Eine Einführung in zwölf Fallstudien."

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